Introducción a los movimientos de cuerpo rígido

En robótica, describir dónde está un robot y cómo se orientan sus eslabones lo es todo. Algunos de los elementos básicos incluyen marcos de coordenadas, vectores de posición y matrices de rotación. Vamos a darles un vistazo rápido.

Marcos de coordenadas Un marco de coordenadas es simplemente un conjunto de ejes de referencia ( $x, y, z$ ) unidos a un punto específico, actuando como un pequeño papel milimetrado en 3D. En robótica, manejamos constantemente múltiples marcos: un marco fijo de "mundo" anclado a la habitación y marcos móviles unidos a cada articulación del robot.

Vectores de posición Para ubicar un punto físico $p$ en el espacio con respecto a un marco de referencia $\{A\}$ , usamos un vector de posición:

p = \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \end{bmatrix}

Piensa en estas coordenadas como instrucciones: da $p_x$ pasos a lo largo del eje $x$ , $p_y$ a lo largo del eje $y$ y $p_z$ a lo largo del eje $z$ . La posición es relativa. Si cambias tu punto de vista a un nuevo marco de coordenadas, los valores numéricos del vector cambian, aunque el punto físico no se haya movido.

Matrices de rotación Mientras que un vector de posición maneja la traslación, la orientación requiere una matriz. Representamos la orientación de un marco $\{B\}$ con respecto al marco $\{A\}$ usando una matriz de rotación $R_{AB}$ . Esta se construye colocando los ejes unitarios de $\{B\}$ expresados en las coordenadas de $\{A\}$ uno al lado del otro:

R_{AB} = \begin{bmatrix} \hat{x}_B & \hat{y}_B & \hat{z}_B \end{bmatrix}

Las matrices de rotación pertenecen a un grupo llamado $SO(3)$ y deben cumplir con dos reglas estrictas:

R^T R = I \quad \text{and} \quad \det(R) = 1

Estas reglas aseguran que una matriz de rotación solo rote el espacio sin estirarlo, deformarlo ni reflejarlo como un espejo. Una propiedad de estas matrices es que su inversa es simplemente su transpuesta ( $R^{-1} = R^T$ ), lo que facilita revertir una perspectiva.

Cambiando perspectivas Para convertir un punto medido en el marco $\{B\}$ a las coordenadas del marco $\{A\}$ , lo multiplicamos por la matriz de rotación:

p_A = R_{AB} p_B

Al multiplicar estas matrices ( $R_{AC} = R_{AB} R_{BC}$ ), podemos encadenar transformaciones a través de múltiples eslabones del robot.

¡En el futuro uniremos estas piezas y las veremos en movimiento!